Практическая работа на тему "Практическое задание | Вычислительная математика - Росдистант ТГУ Тольятти [ID 65685]"

Практикум по предмету: Практическое задание. Вычислительная математика
Направление/специальность подготовки:
Работа выполнена на хорошо.
Вам останется только внести свои ФИО и номер группы, роспись.
Если вы хотите уникальную работу (под себя), можете дать мне индивидуальный заказ в моём профиле.

Описание работы

Практическое задание 1

Тема 1. Погрешности вычислений. Вычисление значений функций
Лекция 1.1. Приближенные числа, их абсолютные и относительные погрешности. Погрешности вычисления значения функции
Лекция 1.2. Вычисление значений многочлена. Схема Горнера. Метод итераций. Вычисление значений функций с помощью цепных дробей и степенных рядов
Номера вариантов задач определяются с помощью табл. 1 по первой букве фамилии студента.
Таблица 1
Буква Ж, С, Э
№ вар. 7
Задание 1.1. Вычислить значение функции и, ее предельные абсолютную и относительную погрешности, если известны погрешности ее аргументов. Найти количество верных значащих цифр функции и (в широком и узком смысле). Параметры m и k заданы точно. Данные брать из табл. 2 согласно варианту.
Таблица 2
№ и x y m k
7 mx^2 + ky^2 1,84 ± 0,04 6,21 ±2 % 8 2,2
Задание 1.2. Пользуясь разложением в степенной ряд, составить с указанной точностью до 10^-5 таблицу значений функции u. Данные брать из табл. 3 согласно варианту.
Таблица 3
№ и x k
7 sin x / x 0,40 + 0,01*k 0, 1, ..., 15
Задание 1.3. Пользуясь методом итераций, составить таблицу значений функции и с точностью ε. Данные брать из табл. 4 согласно варианту.
Таблица 4
№ и x k ε
7 4√x 0,05 + 0,02*k 0, 1, ..., 15 10^-6

Практическое задание 2
Тема 2. Численные методы линейной алгебры
Лекция 2.1. Решение систем линейных уравнений
Лекция 2.2. Численные методы решения систем линейных уравнений
Номера вариантов задач определяются с помощью табл. 1 по первой букве фамилии студента.
Таблица 1
Буква Ж, С, Э
№ вар. 7
Задание 2.1. Методом Гаусса решить систему линейных алгебраических уравнений с точностью до 0,01.
Вариант 7
2x1 + x2 + x3 + x4 = 2
2x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 = 1
2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0
2x1 + 2x2 + 3x3 + 5x4 = -1
Задание 2.2. С помощью метода Гаусса найти обратную матрицу для заданной матрицы A.
A = (3,81 0,25 1,28 0,75 + α
2,25 1,32 4,58 + α 0,49
5,31 6,28 + α 0,98 1,04
9,39 + α 2,45 3,35 2,28)
где α = 0,2 * n, n – номер вашего варианта задания.
Задание 2.3. Решить систему линейных уравнений итерационными методами с точностью 0,01 при заданном начальном приближении (0,7m; 1; 2; 0,5), где m – вариант:
а) методом простой итерации;
б) методом Зейделя.
3x1 + x2 - x3 + x4 = 3m
x1 - 4x2 + x3 - x4 = m - 6
-x1 + x2 + 4x3 + x4 = 15 - m
x1 + 2x2 + x3 - 5x4 = m + 2

Практическое задание 3
Тема 3. Численные методы решения нелинейных уравнений и систем
Лекция 3.1. Численное решение нелинейных уравнений
Лекция 3.2. Численные методы решения систем нелинейных уравнений
Номера вариантов задач определяются с помощью табл. 1 по первой букве фамилии студента.
Таблица 1
Буква Ж, С, Э
№ вар. 7
Задание 3.1. Определить корни уравнения графически и уточнить один из них итерационными методами с точностью 0,001:
а) методом деления отрезка пополам;
б) методом Ньютона (метод касательных);
в) методом простой итерации.
Номер варианта Пример
7 x^3 + 6x - 1 = 0
Задание 3.2. Решить систему нелинейных уравнений итерационными методами с точностью 0,001:
а) методом Ньютона;
б) методом простых итераций;
в) методом Зейделя.
Номер варианта Пример
7 sin x + 2y = 2
cos(y - 1) + x = 0,72

Практическое задание 4
Тема 4. Интерполирование и численное дифференцирование
Лекция 4.1. Постановка задачи интерполирования. Интерполяционные формулы Ньютона, Гаусса, Стирлинга, Бесселя
Лекция 4.2. Интерполяционная формула Лагранжа. Обратное интерполирование
Лекция 4.3. Численное дифференцирование
Номера вариантов задач определяются с помощью табл. 1 по первой букве фамилии студента.
Таблица 1
Буква Ж, С, Э
№ вар. 7
Задание 4.1. Дана таблица значений функции y = sin x (табл. 2).
Таблица 2
x sin x x sin x x sin x
1,1 0,89121 1,6 0,99957 2,1 0,86321
1,2 0,93204 1,7 0,99166 2,2 0,80850
1,3 0,96356 1,8 0,97385 2,3 0,74571
1,4 0,98545 1,9 0,94630 2,4 0,67546
1,5 0,99749 2,0 0,90930 2,5 0,59847
Пользуясь первой и второй формулами Ньютона при n = 2 (квадратичная интерполяция), вычислить sin x для данного значения аргумента x согласно варианту (табл. 3) и указать оценку остаточного члена R2.
Таблица 3
№ вар. 7
х 1,732
Задание 4.2. Функции f(x), g(x) и h(x) заданы табл. 4а – 4в.
Таблица 4а Таблица 4б Таблица 4в
x f(x) x g(x) x h(x)
1,50 0,51183 1,0 0,5652 0,00 0,28081
1,51 0,50624 1,1 0,6375 0,05 0,31270
1,52 0,50064 1,2 0,7147 0,10 0,34549
1,53 0,49503 1,3 0,7973 0,15 0,37904
1,54 0,48940 1,4 0,8861 0,20 0,41318
1,55 0,48376 1,5 0,9817 0,25 0,44774
1,56 0,47811 1,6 1,0848 0,30 0,48255
1,57 0,47245 1,7 1,1964 0,35 0,51745
1,58 0,46678 1,8 1,3172 0,40 0,55226
1,59 0,46110 1,9 1,4482 0,45 0,58682
1,60 0,45540 2,0 1,5906 0,50 0,62096
Пользуясь первой или второй интерполяционными формулами Ньютона, найти значения этих функций для указанного значения аргумента х согласно варианту (табл. 5).
Таблица 5
№ варианта х для f(x) х для g(x) х для h(x)
7 1,59614 1,9728 0,48398
Задание 4.3. Функции f(x), g(x) и h(x) заданы табл. 6а – 6в.
Таблица 6а Таблица 6б Таблица 6в
x f(x) x g(x) x h(x)
1,50 0,51183 1,0 0,5652 0,00 0,28081
1,51 0,50624 1,1 0,6375 0,05 0,31270
1,52 0,50064 1,2 0,7147 0,10 0,34549
1,53 0,49503 1,3 0,7973 0,15 0,37904
1,54 0,48940 1,4 0,8861 0,20 0,41318
1,55 0,48376 1,5 0,9817 0,25 0,44774
1,56 0,47811 1,6 1,0848 0,30 0,48255
1,57 0,47245 1,7 1,1964 0,35 0,51745
1,58 0,46678 1,8 1,3172 0,40 0,55226
1,59 0,46110 1,9 1,4482 0,45 0,58682
1,60 0,45540 2,0 1,5906 0,50 0,62096
Пользуясь интерполяционными формулами Гаусса, Стирлинга или Бесселя, найти значения этих функций для указанного значения аргумента х согласно варианту (табл. 7).
Таблица 7
№ варианта х для f(x) х для g(x) х для h(x)
7 1,55632 1,5728 0,27321
Задание 4.4. Построить интерполяционный полином Лагранжа по заданным точкам (табл. 8).
Таблица 8
x_i -1 0 2 v + 2
y_i -1-v -v 1-v 8-v
v – вариант.
Задание 4.5. Дана таблица значений функции y = f(x) (табл. 9, 11). С помощью интерполяционных формул Ньютона или Стирлинга найти значения производных y' и y'' в указанных точках (табл. 10, 12).
Таблица 9 (значения функции для вариантов 6–10)
x y x y x y
0,4 0,4000 1,6 8,7826 2,8 23,3808
0,6 1,4848 1,8 10,6967 3,0 26,6819
0,8 2,6811 2,0 12,7945 3,2 30,2945
1,0 3,9983 2,2 15,0926 3,4 34,2479
1,2 5,4465 2,4 17,6093 3,6 38,5741
1,4 7,0371 2,6 20,3647 3,8 43,3084
Таблица 12 (значения аргумента для вариантов 6–10)
№ варианта 7
x0 0,6

Практическое задание 5
Тема 5. Численное интегрирование
Лекция 5.1. Методы численного интегрирования
Номера вариантов задач определяются с помощью табл. 1 по первой букве фамилии студента.
Таблица 1
Буква Ж, С, Э
№ вар. 7
Задание 5.1. Вычислить интеграл, при заданном числе интервалов n, используя:
1) метод левых прямоугольников;
2) метод правых прямоугольников;
3) метод средних прямоугольников;
4) метод трапеций;
5) метод Симпсона (парабол);
6) метод Ньютона (правило трех восьмых). Для данного метода отрезок интегрирования разбить на 9 частей.
Вариант Интеграл n
7 ∫₁⁴ (2x² + 7√x) dx n = 6
Задание 5.2. Вычислить интеграл по формуле трапеций с точностью до ε = 10^-2.
Вариант Интеграл
7 ∫₀¹ dx / (1 + x⁴)
Задание 5.3. Вычислить интеграл по формуле Симпсона с точностью до ε = 10^-3.
Вариант Интеграл
7 ∫₀¹ (sin x) / (1 + x²) dx
Задание 5.4. Вычислить интеграл по формуле Гаусса при заданном числе интервалов n.
Вариант Интеграл n
7 ∫₀¹ √(1 + x) dx n = 4

Практическое задание 6
Тема 6. Численные методы решения дифференциальных уравнений и систем
Лекция 6.1. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем первого и второго порядка
Номера вариантов задач определяются с помощью табл. 1 по первой букве фамилии студента.
Таблица 1
Буква Ж, С, Э
№ вар. 7
Задание 6.1. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка на заданном отрезке:
1) методом Эйлера;
2) модифицированным методом Эйлера;
3) методом Рунге–Кутты.
Вариант Дифференциальное уравнение Начальное условие Заданный отрезок Шаг
7 y' = 4 - x + 2y y(0) = 1 x ∈ [0; 1,2] h = 0,3
Задание 6.2.
1. Найти решение дифференциального уравнения второго порядка с заданными начальными условиями методом неопределенных коэффициентов.
2. Найти первые пять членов решения дифференциального уравнения второго порядка с заданными начальными условиями.
Вариант Дифференциальное уравнение Начальное условие Начальное условие
7 y'' + 2y' - y/x = 3 y'(0,2) = 2 y'(0,5) = 1