Уравнение
Первое начало гласит, что общее количество теплоты есть сумма изменения внутренней энергии∆U системы и работы внешних сил А.
Q = ∆U + A.
При отсутствии обмена теплотой выражение будет иметь вид:
∆U + A = 0 или А = − ∆U
Иными словами, в адиабатном термодинамическом процессе работа газа равна убыли его внутренней энергии.
Продолжим преобразования.
Если работа А равна произведению давления p на бесконечно малое изменение объема, то
dU = − pdV
Используя уравнение Менделеева-Клапейрона (МК), запишем для идеального газа:
pdV = − CvdT.
Откуда следует, что dU = ν CvdT.
Дифференцирование все части, полная запись преображается следующим образом:
pdV + Vdp = ν RdT,
где R – универсальная газовая постоянная.
Выражаем dT как dU/ν Cv, а dU как – pdV и получаем:
pdV + Vdp = – pdV
Группируем подобные слагаемые:
Vdp = − pdV (1+R/Cv).
Примем сумму (1+R/Cv) за коэффициент γ:
γ = −
После интегрирования получим запись:
γln V = - ln p + const
Применяя свойства логарифмов, окончательно имеем:
pVγ = const
Равенство, к которому мы пришли есть уравнение адиабатного процесса. Другое название выражения – уравнение Пуассона. Следует напомнить, что рассматриваемая система – идеальный газ.
В этом уравнении коэффициент γ – показатель адиабаты (коэффициент Пуассона). Его физический смысл – отношение теплоемкостей системы при p = const и V = const, соответственно.
Графическое описание процесса
В координатах «давление – объём» адиабатические явления описываются графиком адиабатой. Кривая напоминает изотерму, но имеет более крутой вид. Это следует из пропорциональности произведения pV температуре T, согласно уравнению МК.
На рисунке кривая 1 является адиабатой, кривая 2 – изотермой для одной и той же идеальной системы.
Исходя из того, что:
pV T, адиабатный закон можно описать и так: TVγ−1 = const.
Соотношение между температурой и давлением в адиабатическом процессе:
pT(γ/1-γ) = const
Как найти работу газа
Чтобы выразить работу А, которую совершает система при Q = 0, снова используем уравнение МК:
dA = − νCvdT, что после дифференцирования преобразуется так:
А = − νCv(T1 – T2).
Уравнение Мейера для идеальных газов показывает связь между теплоёмкостями при изобарном и изохорном процессах. Согласно этому равенству, разность Cp и Сv есть универсальная газовая постоянная R. Тогда учитывая, что показатель адиабаты – это отношение этих теплоемкостей, выразим Сv в формуле для полной работы:
Подставляем теплоемкость изохорного процесса:
Связь температур, объёмов и давлений в термодинамике идеальных систем выглядит так:
Таким образом, работу можно представить через соотношение давлений или объемов:
Примеры задач
- Температура воспламенения T2 горючей смеси с показателем адиабаты 1,4 в двигателе Дизеля 1100 К (см. рисунок). Исходная температура Т1 равна 350 К. Найти, во сколько раз необходимо уменьшить объем смеси сжатием, чтобы произошло воспламенение.
Решение. Воспользуемся соотношением температур и объемов для адиабатного процесса идеального газа. Тогда:
T1V1γ−1 = T2V2γ−1. Выражаем отношение объемов и получаем ответ:
V1/V2 = (T2/T1)(1/(γ−1)) = (1100/3500)2,5 ≈ 17,5 раз.
- Начальные параметры воздуха Р1 0,1 МПа и Т1 = 300 К. После адиабатного сжатия в компрессоре двигателя давление Р2 стало 0,28 МПа. После этого при постоянном давлении произошло охлаждение воздушной смеси до 37 °С. Найти работу сжатия и количество отводимой теплоты при охлаждении.
Решение.
Для адиабатического процесса соотношение давлений и температуры:
(Р2/Р1)(γ−1)/γ = Т2/Т1, откуда находим температуру по завершении сжатия:
Т2 = Т1((Р2/Р1)(γ−1)/γ = 300 (0,28/0,1)1/0,4 = 402 К.
Показатель адиабаты равен 1,4 для воздуха в данных условиях.
Количество теплоты, которое отводится при изобарном охлаждении равно с учетом перевода градусов Цельсия в Кельвины:
Q = Cp(Т2 – Т3) = 1000(402-310) = 92 кДж/кг.
Тогда работа сжатия компрессора равна:
А = R (T2 – T1)/γ-1 ≈ 73,2 кДж/кг.
