Адиабатный процесс в термодинамике

Адиабатным называют такой процесс в термодинамике, при котором не происходит теплообмена с окружающей средой.

Адиабатный процесс в термодинамике

Уравнение

Первое начало гласит, что общее количество теплоты есть сумма изменения внутренней энергииU системы и работы внешних сил А.

Q = U + A.

При отсутствии обмена теплотой выражение будет иметь вид:

U + A = 0 или А = U

Иными словами, в адиабатном термодинамическом процессе работа газа равна убыли его внутренней энергии.

Продолжим преобразования.

Если работа А равна произведению давления p на бесконечно малое изменение объема, то

dU = pdV

Используя уравнение Менделеева-Клапейрона (МК), запишем для идеального газа:

pdV = CvdT.

Откуда следует, что dU = ν CvdT.

Дифференцирование все части, полная запись преображается следующим образом:

pdV + Vdp = ν RdT,

где R – универсальная газовая постоянная.

Выражаем dT как dU/ν Cv, а dU как – pdV и получаем:

pdV + Vdp = – pdV

Группируем подобные слагаемые:

Vdp = pdV (1+R/Cv).

Примем сумму (1+R/Cv) за коэффициент γ:

γ = −  

После интегрирования получим запись:

γln V = - ln p + const

Применяя свойства логарифмов, окончательно имеем:

pVγ = const

Равенство, к которому мы пришли есть уравнение адиабатного процесса. Другое название выражения – уравнение Пуассона. Следует напомнить, что рассматриваемая система – идеальный газ.

В этом уравнении коэффициент γ – показатель адиабаты (коэффициент Пуассона). Его физический смысл – отношение теплоемкостей системы при p = const и V = const, соответственно.

Графическое описание процесса

В координатах «давление – объём» адиабатические явления описываются графиком адиабатой. Кривая напоминает изотерму, но имеет более крутой вид. Это следует из пропорциональности произведения pV температуре T, согласно уравнению МК.

На рисунке кривая 1 является адиабатой, кривая 2 – изотермой для одной и той же идеальной системы.

Исходя из того, что:

pV  T, адиабатный закон можно описать и так: TVγ1 = const.

Соотношение между температурой и давлением в адиабатическом процессе:

pT(γ/1-γ) = const

 

Как найти работу газа

Чтобы выразить работу А, которую совершает система при Q = 0, снова используем уравнение МК:

dA = νCvdT, что после дифференцирования преобразуется так:

А = νCv(T1 – T2).

Уравнение Мейера для идеальных газов показывает связь между теплоёмкостями при изобарном и изохорном процессах. Согласно этому равенству, разность Cp и Сv есть универсальная газовая постоянная R. Тогда учитывая, что показатель адиабаты – это отношение этих теплоемкостей, выразим Сv в формуле для полной работы:

Подставляем теплоемкость изохорного процесса:

Связь температур, объёмов и давлений в термодинамике идеальных систем выглядит так:

 

Таким образом, работу можно представить через соотношение давлений или объемов:

Примеры задач

  1. Температура воспламенения T2 горючей смеси с показателем адиабаты 1,4 в двигателе Дизеля 1100 К (см. рисунок). Исходная температура Т1 равна 350 К. Найти, во сколько раз необходимо уменьшить объем смеси сжатием, чтобы произошло воспламенение.

Решение. Воспользуемся соотношением температур и объемов для адиабатного процесса идеального газа. Тогда:

T1V1γ−1 = T2V2γ−1. Выражаем отношение объемов и получаем ответ:

V1/V2 = (T2/T1)(1/(γ−1)) = (1100/3500)2,5 ≈ 17,5 раз.

  1. Начальные параметры воздуха Р1 0,1 МПа и Т1 = 300 К. После адиабатного сжатия в компрессоре двигателя давление Р2 стало 0,28 МПа. После этого при постоянном давлении произошло охлаждение воздушной смеси до 37 °С. Найти работу сжатия и количество отводимой теплоты при охлаждении.

Решение.

Для адиабатического процесса соотношение давлений и температуры:

21)(γ−1)/γ = Т21, откуда находим температуру по завершении сжатия:

Т2 = Т1((Р21)(γ−1)/γ = 300 (0,28/0,1)1/0,4 = 402 К.

Показатель адиабаты равен 1,4 для воздуха в данных условиях.

Количество теплоты, которое отводится при изобарном охлаждении равно с учетом перевода градусов Цельсия в Кельвины:

Q = Cp2 – Т3) = 1000(402-310) = 92 кДж/кг.

Тогда работа сжатия компрессора равна:

А = R (T2 – T1)/γ-1 ≈ 73,2 кДж/кг.

стать заказчиком
стать исполнителем