Умение применить аналогию между разными видами колебаний позволяет комплексно подходить к расчетам и облегчает оперативнее решать задачи по механике и электродинамике.
Характеристики колебаний
Независимо от природы колебательный процесс описывается следующими основными параметрами:
- Период Т– это временной интервал, за который система совершает полное колебание.
- Амплитуда А– наибольшее отклонение значения для данной системы.
- Частота ν – это количество колебательный движений за единицу времени, т.е. ν = 1/Т.
Для движения по закругленной траектории есть понятие круговой частоты:
Ω = 2πν = 2π/Т.
Таким образом, описание колеблющейся системы происходит посредством одних и тех же математических выражений.
Сходство колебательных процессов
В электромагнитном контуре происходят процессы, подобные свободным колебаниям подвешенного на пружине груза.
В механике периодическим изменениям подвергаются координата точки x и проекция на ось абсцисс скорости тела vx. Тогда как в электродинамике основными переменными являются заряд q и сила тока I.
Как показано на рисунке, простейшими схемами электромагнитных и механических колебаний являются замкнутый колебательный контур из катушки и конденсатора и пружинный маятник, соответственно.
Сила, с которой маятник сопротивляется движению и стремится вернуться в исходное состояние, есть сила упругости Fх упр (проекция вектора силы на 0Х). При этом она пропорциональна смещению шарика от равновесной позиции.
Потенциальная энергия, сообщенная колеблющемуся шарику на пружине равна:
Для энергии электрического поля конденсатора выведена следующая формула:
Кинетическая энергия в механике определяется так:
где m – масса тела (шарика), кг.
В электрических контурах ту же роль, что и масса в механике, играет индуктивность L катушки. Поэтому энергия магнитного поля катушки будет определяться так:
При электромагнитных колебаниях в контуре разрядку конденсатора обуславливает напряжение, вызывающее появление силы тока между пластинами. Связь между величиной напряжения и зарядом такова:
где 1/С – коэффициент пропорциональности;
С – емкость конденсатора, Ф.
Обратная емкости величина есть аналог жесткости пружины, а заряд q в Кулонах представляет собой переменную, которая соотносится с координатой x при механическом процессе. Это подтверждается выражением для энергии электрического поля.
В электрической цепи начинается движение заряженных частиц (тока I) аналогично развитию скорости в механической системе в результате действия Fх упр. В определенный момент времени материальная точка достигнет максимальной скорости (vm) и затем вернется к равновесию. Этот временной отрезок будет соответствовать таковому в электромагнитном колебательном контуре, когда произойдет разрядка конденсатора, а ток станет максимальным (im).
Т.к. процесс периодический, то после разрядки обкладок конденсатора, начнется перезарядка. При времени, равном ½ периода Т, конденсатор завершит перезарядку, а ток перестанет течь (i = 0). В механике (см. рисунок ниже) шарик уйдет в крайнее левое положение и прекратит движение ( = 0).
Однако после того, как сила прекращает свое действие, скорость снижается до 0 постепенно, а сила тока не сразу исчезает и при нулевом напряжении.
При сравнении этих простейших схем видно, что между механическими и электродинамическими параметрами колебательных процессов прослеживается явная аналогия, описываются колебательные процессы синусоидальными и косинусоидальными законами.
Примеры решения задач
Примеры решения приведенных задач показывают аналогию в применении формул для колебательных процессов.
- Масса подвешенного на пружине с жесткостью k равна m. Его сместили от равновесной позиции и отпустили. Найти максимальное смещение при скорости vmax.
Решение. Из закона сохранения энергии:
- Найти максимальное значение заряда при Iмакс, если известны емкость С и индуктивность
L.
Решение. Из закона сохранения энергии:
