С этой целью при работе с младшими школьниками сегодня активно используются технологии опережающего обучения, когда основы предстоящих учебных тем даются педагогом немного раньше, чем их изучение предусмотрено программой.
Термин «пропедевтика» (от греч. «propaideuo» – предварительно учу, предваряю) в научных источниках трактуется как сокращенное изложение какой-либо науки в систематизированном виде, т.е. подготовительный, вводный курс в разные дисциплины или некоторые из разделов, особенно линия пропедевтики просматривается в курсе математики. По мнению современных педагогов, пропедевтическая работа эффективна при подготовке к изучению тем, зарекомендовавших себя достаточно трудными для детского восприятия.
Одним из основных направлений школьного курса математики является исследование ситуаций реального мира с использованием математических моделей, основной математической моделью является функция.
В 5 – 6-х классах осуществляется функциональная пропедевтика, в 7-9 классах происходит систематическое изучение функционального материала. Затем тема «Функции» продолжает изучаться в старших классах.
Изучение функциональных зависимостей, их свойств и графиков (функционально-графического материала) является стержнем основного курса математики. Именно в рамках изучения математической дисциплины предусматривается формирование умений, которые необходимы для чтения и построения графиков элементарных функций, что составляет основу функционально-графической грамотности.
Функция представляет собой математическую модель практически любого реального процесса. Графики функций характеризуются выразительностью, доходчивостью, лаконичностью, универсальностью, смысловой однозначностью,
интернациональностью, легкостью кодирования и декодирования изображений. Это делает подобную форму представления информации незаменимой в исследовательской и практической деятельности, в решении задач технического и социально-экономического характера. Обработка, обобщение и анализ огромных объемов информации,
представленной графически, находит эффективное применение в самых разных отраслях научной и практической деятельности, таких как информатика, энергетика, экология, экономика и др. Поэтому изучение функциональной линии имеет общекультурное, мировоззренческое значение для формирующейся личности.
От создания таблиц до формирования общего понятия функциональной зависимости прошло много времени, но начало было положено. Исследование общих зависимостей между величинами начал в 14 столетии французский ученый Николай Оресм. В его рукописях содержатся рисунки, напоминающие современные графики функций. Он даже пытался классифицировать эти графики. Однако его идеи опережали уровень науки того времени. И только в 16 столетии, в связи с проникновением идеи переменных, появилась возможность дальнейшего развития понятия функции.
Функциональная линия – одна из ключевых содержательных линий математики. Функциональная линия реализуется как в исследовании вопросов, которые напрямую относятся к понятию функции, так и в придании многим понятиям математики функциональной направленности.
Базовые знания (известные из школьного курса математики 5-6 классов):
- числовые и буквенные выражения;
- понятия формулы и уравнения;
- понятия прямой и обратной пропорциональных зависимостей;
- координатная прямая, координатная плоскость, координаты.
Вводимые (новые) знания:
- понятия функции, графика функции и её области определения;
- запись y = f(x);
- основные свойства функций;
- основные элементарные функции, их графики и свойства;
- кусочные функции;
- преобразования графиков функций;
- применение графиков функций к решению уравнений, неравенств и систем;
- тригонометрические функции, их графики и свойства.
В курсе алгебры 9 класса задания, направленные на понимание функции как важнейшей математической модели для описания процессов и явлений окружающего мира (IV тип задач) представлены в минимальном количестве. Задачный материал по теме «Функции» в курсе алгебры 9 класса в основном направлен на формирование у учащихся навыков и умений построения кусочных функций, применения преобразования графиков функций, а также на применение функций к решению уравнений, неравенств и систем. Таким образом, в курсе алгебры 9 класса преобладают задачи V и VI типов. Задачи I типа присутствуют во всех учебниках рассматриваемых нами авторов на протяжении всего курса алгебры 7 – 9 классов.
В школьных учебниках существуют различные подходы к определению и введению понятия функции, а также дальнейшему его формированию у учащихся. Это связано с рассмотренными ранее историческими аспектами возникновения и развития данного понятия.
Н.Л. Стефанова, Н.С. Подходова и др. разделяют различные трактовки понятия «функции» на два блока. Первый блок объединяет определения, которые можно отнести к классическим (традиционным), опирающимся на понятие переменной величины. Второй блок включает в себя определения, которые относятся к современным и имеют теоретико-множественную основу.
Введению понятия «функция» предшествует рассмотрение примеров зависимостей между переменными. В них учащиеся встречаются со случая- ми, когда такая зависимость задана формулой, графиком или таблицей. Тем самым создается база для осознанного восприятия учащимися понятия «функция».
Как показывает практика, одной из самых сложных для усвоения содержательных линий основного курса математики является функциональная линия. Уже не первое поколение школьников сталкиваются с трудностями при изучении понятийного аппарата данного раздела, при понимании алгоритмов построения графиков функций, а также при
практическом применении свойств и графиков функции в процессе решения математических задач.
Таким образом, были изучены исторические аспекты возникновения и развития понятия функции. Установлено, что понятие функции в своем историческом развитии прошло через несколько этапов (пропедевтический, введение понятия функции через механические и геометрические представления, аналитическое определение функции, функция как отображение, дальнейшее развитие понятия функции с 20 века). Структура изучения функциональной линии в школьном курсе математики строится с учетом исторических аспектов развития понятия функции. В школьном курсе происходит повторение в обучении основных этапов, через которые это понятие прошло в науке.
Выявлены основные цели и задачи обучения функциональной линии в курсе математики основной школы. Определено, что при изучении функций у учащихся формируется целостное представление об окружающем мире и взаимосвязи его компонентов, навыки использования функций в повседневной жизни; знания, умения и навыки использования понятийного аппарата, связанного с функциональной линией, в математике и других науках.
Выполнен анализ содержания теоретического и задачного материала функциональной линии в учебниках алгебры основной школы. Определено, что в большинстве рассматриваемых учебниках в 7 классе основной изучаемой функцией является линейная функция. В 8 классе особое внимание уделяется функции обратной пропорциональности, а в 9 классе - квадратичной функции и преобразованиям графиков функции. Выделены основные типы задач по теме «Функции», приведены примеры задач каждого типа.
Охарактеризованы различные подходы к определению понятия «функция» в школьном курсе математики и раскрыта методика введения данного понятия. Определено, что существуют две различные методические трактовки понятия функции: генетическая и логическая.
Выявлены методические особенности обучения учащихся линейной функции. Установлено, что изучение конкретных функций целесообразно проводить по определенной методической схеме. Особое внимание при обучении учащихся линейной функции следует уделить графику данной функции, расположению графика функции в координатной плоскости в зависимости от знаков коэффициентов. Определено, что для закрепления понятия линейной функции и ее свойств рекомендуется решать с учащимися задачи практического содержания, а также задачи на нахождение уравнений прямых, заданных теми или иными геометрическими свойствами.
Раскрыты методические особенности обучения учащихся квадратичной функции. Установлено, что изучение квадратичной функции в основной школе проводится поэтапно. Основная цель – выработать умение строить график квадратичной функции и с помощью графика перечислять свойства данной функции. Чтобы вызвать познавательный интерес к квадратичной функции, учителю рекомендуется на примере нескольких задач показать учащимся потребность в изучении данной функции. Строить график квадратичной функции рекомендуется различными способами: с помощью преобразования или по алгоритму. При обучении квадратичной функции целесообразно показать учащимся общие случаи расположения параболы на координатной плоскости в зависимости от знаков коэффициентов, входящих в формулу, и знака дискриминанта.