Магистерская диссертация на тему "ТЮМГУ | Неподвижные точки и предельные циклы обобщенной дифференциальной полиномиальной системы Куклеса"

Работа на тему: Неподвижные точки и предельные циклы обобщенной дифференциальной полиномиальной системы Куклеса
Оценка: хорошо.
Оригинальность работы на момент публикации 50+% на антиплагиат.ру.
Ниже прилагаю все данные для покупки.
https://studentu24.ru/list/suppliers/Anastasiya1---1326

Описание работы

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК
Кафедра фундаментальной математики и механики

РЕКОМЕНДОВАНО К ЗАЩИТЕ В ГЭК

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
Магистерская диссертация
НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ ОБОБЩЕННОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ КУКЛЕСА

01.04.01 Математика
Магистерская программа «Вычислительная механика»

Тюмень 2022 '

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ 5
1.1 Система Куклеса 5
1.2 Исследования системы Куклеса 6
1.2.1 Неподвижная точка типа центр системы Куклеса 6
1.2.2 Фазовые портреты системы Куклеса 7
ГЛАВА 2. МЕТОДЫ И МАТЕРИАЛЫ 14
2.1. Основные определения качественной теории динамических систем 14
2.2. Устойчивость в первом приближении – метод линеаризации 15
2.2.1. Положения равновесия линейных автономных систем 15
2.2.2. Устойчивость в первом приближении 21
2.2.3. Сложные состояния равновесия 22
2.3. Компактификация Пуанкаре 25
2.4. Метод усреднения 27
2.5. Диофантовы уравнения 29
ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ОБОБЩЕННОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ КУКЛЕСА 30
3.1 Неподвижные точки системы 31
3.1.1 Конечные неподвижные точки 31
3.1.2 Бесконечные сингулярные точки 31
3.2 Фазовые портреты на диске Пуанкаре 37
3.3 Предельные циклы 37
3.4 Программная реализация 40
3.5 Апробация работы 41
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 43
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 44
ПРИЛОЖЕНИЯ 47

ВВЕДЕНИЕ
Данная работа посвящена изучению поведения траекторий обобщенной полиномиальной дифференциальной системы Куклеса четной степени n ? 2 и исследованию периодических решений этой системы.
Актуальность темы. Исследование количества предельных циклов двумерных динамических систем - теоретическая математическая проблема, которая сформулирована на II Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году Давидом Гильбертом как 16 проблема. Теоретические разработки в этой области знаний имеют выход во многие прикладные задачи в различных науках: химия (например, колебательные реакции Белоусова- Жаботинского [5]), биология (например, популяционная модель Лотки- Вольтерры [21]), физика (например, осциллятор Ван дер Поля [22]) и другие. В этих моделях большое значение имеют предельные циклы, моделирующие устойчивое (или неустойчивое) поведение системы.
Цель работы. Целью работы являются обобщение ранее полученных результатов для полиномиальной системы Куклеса и получение новых оценок количества предельных циклов для системы 10 порядка.
Задачи, поставленные для решения проблемы:
1. Всестороннее исследование научных работ по тематике проблемы;
2. Обзор методологии, используемой для достижения поставленной
цели;
3. Изучение характера устойчивости конечных и бесконечных
неподвижных точек;
4. Применение теории усреднения для определения количества предельных циклов возмущенной системы для заранее заданного n.
Методы исследования. В работе использован обширный круг методов из разных областей математики: дифференциальные уравнения, качественная теория динамических систем, теория чисел.
? метод линеаризации дифференциальных систем;
? метод компактификации Пуанкаре;
? метод усреднения;
Магистерская диссертация состоят из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений.
В первой главе приведен обзор литературных источников, показаны основные результаты ранних исследований. Во второй главе рассматриваются основные методы анализа динамических систем, использованные в диссертации. В третьей главе применяются изложенные методы на примере системы Куклеса четной степени n ? 2.
В работе изучено 24 литературных источника, включающих в себя как отечественную литературу, так и зарубежные исследования.
На основе магистерской диссертации составлена научная статья и отправлена в журнал «Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки». По результатам рецензии статья принята к публикации в выпуск №2 2022 г.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Баутин Н.Н., Леонтович Е.В. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. Новосибирск: Изд-во Наука, 1990. 490 с.
[2] Белоусов Б.П. Периодически действующая реакция и е? механизм // Сборник рефератов по радиационной медицине за 1958 г. -М: Медгиз, 1959, с.145.
[3] Волокитин Е.П., Иванов В.В. Изохронность и коммутируемость полиномиальных векторных полей // Сибирский математический журнал. 1999.
№1 (40). С. 30-48.
[4] Вулпе Н. И., Сибирский К. С.. Центроаффинно инвариантные условия наличия центра дифференциальной системы с кубическими нелинейностями.
Докл. АН СССР, 301:6 (1988), 1297–1301; Dokl. Math., 38:1 (1989), 198–201
[5] Жаботинский А.М. Периодический процесс окисления малоновой кислоты растворе // Биофизика. 9: С.306-311.
[6] Каток А. Б., Хассельблат Б.[de]. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. —
С. 265. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9
[7] Коваленко А.С., Тихонова Л.П. Сложные колебательные режимы и их эволюция в реакции Белоусова-Жаботинского // Ж. физ. химии. 1989. Т.63. №1. С.71-73.
[8] Кодзоков А.Х., Бесланеев З.О., Нагоров А.Л., Тхамоков М.Б. О линейных диофантовых уравнениях и способах их решения. Вестник КРАУНЦ. Физико- математические науки. 2016. №2 (13) С. 18-23. DOI: [0.18454/2079-6641-2016- 13-2-18-23]
[9] Куклес И.С. О некоторых случаях отличия фокуса от центра. Доклады Академии Наук СССР. 1944. Т. 42. - №5. С. 212-215.
[10] Малкин К.Е. Критерии центра для одного дифференциального уравнения// Волжский математический сборник. 1964. №2. С. 87–91.
[11] Belfar, R. Benterki. Centers and Limit Cycles of Generalized Kukles Polynomial Differential Systems: Phase Portraits and Limit Cycles // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. 2020; 13: 387–397. DOI: [10.17516/1997-1397-2020-13-4-387-397].
[12] Benterki R., Llibre J. Centers and limit cycles of polynomial differential systems of degree 4 via averaging theory. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2017;313: 273–283. DOI: [10.1016/j.cam.2016.08.047]
[13] Benterki R., Llibre J. The centers and their cyclicity for a class of polynomial differential systems of degree 7 via averaging theory. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2020; 368: 112456. DOI: [10.1016/j.cam.2019.112456]
[14] Buzzi C.A., Llibre J., Medrado J.C. Phase portraits of reversible linear differential systems with cubic homogeneous polynomial nonlinearities having a non–degenerate center at the origin // Qualitative Theory of Dynamical Systems. 2009; 2:369–403.
[15] Gine J. Conditions for the existence of a center for the Kukles homogenenous systems. Computers & Mathematics with Applications. 2002;43: 1261–1269.
[16] Gine J., Llibre J., Valls C. Centers for the Kukles homogeneous systems with odd degree. Bulletin of the London Mathematical Society. 2015; 47: 315–324.
[17] Gine J., Llibre J., Valls C. Centers for the Kukles homogeneous systems with even degree. Journal of Applied Analysis & Computation. 2017; 7: 1534-1548. DOI: [10.11948/2017093]
[18] Llibre J., da Silva M.F. Global phase portraits of Kukles differential systems with homogeneous polynomial nonlinearities of degree 6 having a center and their small limit cycles. International Journal of Bifurcation and Chaos. 2016;26: 1650044- 1-1650044-25. DOI: [10.1142/S0218127416500449]
[19] Llibre J., da Silva M.F., Global phase portraits of Kukles differential systems with homogenous polynomial nonlinearities of degree 5 having a center, Topological Methods in Nonlinear Analysis, 48(2016), 257–282.
[20] Llibre J., Novaes D.D., Teixeira M.A. Higher order averaging theory for finding periodic solutions via Brouwer degree. Nonlinearity. 2014; 27: 563–583. DOI: [10.1088/0951-7715/27/3/563]
[21] Lotka AJ. Analytical note on certain rhythmic relations in organic systems. Proc Natl Acad Sci USA. 1920; 6(7): 410–415.
[22] Van der Pol, B. On relaxation-oscillations. The London, Edinburgh and Dublin Phil. Mag. & J. of Sci. 1927; 2(7), 978—992.
[23] Zoladek H. Remarks on: The classification of reversible cubic systems with center. Topological Methods in Nonlinear Analysis. 1996; 8: 335–342.
[24] Zoladek H.. The classification of reversible cubic systems with center. Topological Methods in Nonlinear Analysis. 1994; 4: 79–136.