Дипломная работа на тему "ТЮМГУ | Методы суммирования расходящихся рядов"

Работа на тему: Методы суммирования расходящихся рядов
Оценка: хорошо.
Оригинальность работы на момент публикации 50+% на антиплагиат.ру.
Ниже прилагаю все данные для покупки.
https://studentu24.ru/list/suppliers/Anastasiya1---1326

Описание работы

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК
Кафедра фундаментальной математики и механики

РЕКОМЕНДОВАНО К ЗАЩИТЕ

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
бакалавра
Методы суммирования расходящихся рядов

01.03.03 Механика и математическое моделирование

Тюмень 2023

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 6
1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6
1.2. РЕГУЛЯРНОСТЬ 7
1.3. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 8
1.4. РЕГУЛЯРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 9
ГЛАВА 2. ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ 13
2.1. МЕТОДЫ ВОРОНОГО 13
2.1.1. Регулярность метода Вороного 13
2.1.2. Включения метода Вороного 13
2.2. МЕТОДЫ АБЕЛЯ 15
2.2.1. Регулярность метода Абеля 16
ГЛАВА 3. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ 18
3.1. МЕТОДЫ ГЕЛЬДЕРА 18
3.1.1. Свойства и теоремы для метода Гельдера 18
3.2. МЕТОДЫ ЧЕЗАРО 20
ГЛАВА 4. МЕТОДЫ ЭЙЛЕРА И БОРЕЛЯ 23
4.1. МЕТОДЫ ЭЙЛЕРА 23
4.1.1. Свойства метода Эйлера 23
4.2. МЕТОДЫ БОРЕЛЯ 25
ГЛАВА 5. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 27
5.1. ОПИСАНИЕ 27
5.2. ВЫЧИСЛЕНИЯ 27
5.3. ОПИСАНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ 27
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 33
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 34
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ГРАФИКИ ЧАСТИЧНЫХ СУММ ДАННЫХ РЯДОВ 35

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДОВ В WOLFRAM MATHEMATICA . 40

ВВЕДЕНИЕ
Леонард Эйлер считается основоположником теории суммирования рядов. В XVII и XVIII веках многие известные математики, такие как Лейбниц, Бернулли, Даламбер, Лагранж и другие, долгое время спорили о том, как определить сумму расходящегося ряда. Эйлер первым осознал, что проблема заключается в неправильном понимании самого понятия "сумма". Он заметил: «И вот я говорю, что вся трудность кроется в названии "сумма". Действительно, если мы будем понимать под 'суммой' ряда его обычное определение - результат сложения всех его членов, то нет сомнений в том, что сумму можно получить только для бесконечных рядов, которые сходятся и приближаются к определенному значению по мере сложения большего количества членов. Однако расходящиеся ряды, члены которых не уменьшаются, не будут иметь определенной суммы, если мы понимаем 'сумму' в том смысле, что она является результатом сложения всех членов. Мы можем избежать этих проблем и противоречий, если придадим термину 'сумма' значение, отличное от привычного. Мы можем сказать, что сумма бесконечного ряда — это конечное выражение, из которого происходит данный ряд. При таком определении, если ряд сходится, то новое определение 'суммы' совпадает с обычным. А так как расходящиеся ряды не имеют определенной суммы в привычном смысле, то это новое определение не вызывает неудобств. Приняв это определение, мы сможем сохранить преимущества использования расходящихся рядов и, в то же время, защититься от возможных обвинений».
Как видно из этой цитаты, Эйлер выражает современную точку зрения на расходящиеся ряды. Он утверждает, что расходящиеся ряды не имеют обычной суммы, но возможно предложить новое определение суммы ряда (мы бы сказали: определение метода суммирования рядов), которое применимо как к сходящимся рядам, так и к некоторым расходящимся рядам. При этом метод должен быть регулярным. Однако конкретное определение Эйлера, где он утверждает, что сумма бесконечного ряда является конечным выражением, из которого происходит этот
ряд, не было достаточно ясным и могло привести к противоречиям. В течение долгого времени высказывания Эйлера неправильно понимались в анализе расходящихся рядов и связанных с ними рассуждениях.
Также стоит заметить, что в обширном трактате Лакруа по дифференциальному и интегральному исчислению (начало XIX века) не упоминается понятие сходимости ряда, и известные признаки сходимости (такие как признак Лейбница, признак Даламбера и интегральный признак Коши) на тот момент еще не были изложены. После критического пересмотра основ анализа, проведенного в первой половине XIX века, расходящиеся ряды почти полностью были исключены из математики.
Современная теория суммирования расходящихся рядов начала активно развиваться в конце XIX — начале XX века. Это объясняется выявлением связей этой теории с другими математическими дисциплинами.
Так, в 1880 году Чезаро представил свои методы суммирования в контексте изучения проблемы умножения рядов. Борель (1895–1901) изучал "метод Бореля" в связи с исследованием аналитического продолжения функций. В итоге, в 1904 году Л. Фейер показал, какую пользу может принести теория суммирования рядов в области теории рядов Фурье. Этот период в основном завершился выходом первой обзорной монографии Бореля (1901), посвященной расходящимся рядам. После этого теория расходящихся рядов стала доступной для широкого круга математиков, и ее развитие не прекращалось.
Расходящиеся ряды используются в области статистической механики и термодинамики. Они часто встречаются при расчетах статических сумм. Имеют большое значение в области численных методов и алгоритмов, например методы приближения функций с помощью рядов, такие как ряды Фурье.
При первоначальном изучении расходящихся рядов может сложиться мнение, что они мало где встречаются, однако это не совсем так и примеры, приведенные выше тому доказательство. Важно знать и понимать, что такое расходящиеся ряды и как можно суммировать их в зависимости от классов и свойств ряда.
Главной целью данной дипломной работы является анализ методов для суммирования расходящихся рядов.
Объектом исследования являются методы суммирования расходящихся рядов.
Предмет исследования – процесс суммирования расходящихся рядов. Задачи исследования:
1. Определить и классифицировать методы суммирования расходящихся рядов.
2. Проанализировать свойства методов.
3. Применить методы суммирования к различным расходящимся рядам.
4. Построить графики частичных сумм расходящихся рядов с помощью математической программы Wolfram Mathematica.
5. Проанализировать полученные результаты.
6. Сформулировать выводы по работе.
Методы: теоретический анализ источников информации, метод математического моделирования, сравнительный анализ, метод математических
вычислений.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевников Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 частях. - 2003. - 416 с.
Харди Г. Г. Расходящиеся ряды. - "Факториал Пресс", 2006. - 504 с. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. - АСТ, 2019. - 704 с.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х тт. Том 2. - 6 изд. - АСТ, 2020. - 764 с.
Barbeau E.J., Leah P.J. Euler's 1760 paper on divergent series sciencedirect.com [сайт]
Bryden C. Divergent Series: why 1 + 2 + 3 + · · · = ?1/12 math.arizona.edu [сайт]
Devendra K. The ABCD of Divergent Series blog.wolfram.com [сайт]