Магистерская диссертация на тему "ТЮМГУ | Приближённые аналитические решения уравнения нелинейного осциллятора, моделирующего механическую систему со связями"

Работа на тему: Приближённые аналитические решения уравнения нелинейного осциллятора, моделирующего механическую систему со связями
Оценка: хорошо.
Оригинальность работы на момент публикации 50+% на антиплагиат.ру.
Ниже прилагаю все данные для покупки.
https://studentu24.ru/list/suppliers/Anastasiya1---1326

Описание работы

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК
Кафедра фундаментальной математики и механики

РЕКОМЕНДОВАНО К ЗАЩИТЕ
вгэк
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА
магистра
ПРИБЛИЖЁННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО ОСЦИЛЛЯТОРА, МОДЕЛИРУЮЩЕГО МЕХАНИЧЕСКУЮ СИСТЕМУ СО СВЯЗЯМИ

01.04.01 «Математика»
Магистерская программа «Вычислительная механика»·

Тюмень 2023 год

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 3
2. ОГРАНИЧЕННАЯ МЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 18
3. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ 20
4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ B И ? 25
4.1. ПЕРВЫЙ СПОСОБ 25
4.2 ВТОРОЙ СПОСОБ 28
5. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ 31
6. ВЫВОД 41
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 42

ВВЕДЕНИЕ
Многие из задач, стоящих перед физиками, инженерами и прикладными математиками, связаны с такими трудностями, как нелинейные определяющие уравнения, переменные коэффициенты и нелинейные граничные условия на сложных известных или неизвестных границах, что исключает их точное решение. Следовательно, решения аппроксимируются с использованием численных методов, аналитических методов и их комбинаций. Среди аналитических методов ведущее место занимают систематические методы возмущений (асимптотических разложений) по малому или большому параметру, или координате.
Точные решения редко встречаются во многих разделах механики жидкости, механики твердого тела, движения и физики из-за нелинейностей, неоднородностей и общих граничных условий. Поэтому инженеры, физики и прикладные математики вынуждены находить приближенные решения стоящих перед ними задач. Эти приближения могут быть чисто числовыми, чисто аналитическими или комбинацией числовых и аналитических методов.
Для получения более точных приближенных решений нелинейных задач в области техники, прикладной математики, физических и социальных наук было разработано множество аналитических или полуаналитических методов. Многие исследователи пытались найти приближенные решения, используя эти аналитические методы. Аналитические методы, которые были разработаны для решения сильно нелинейных осцилляторов, включают итерационные методы. В которых модифицированные решения некоторых нелинейных осцилляторов были получены на основе классической итерационной процедуры. С использованием ряда Фурье и всех его членов (иногда приблизительно) на каждом итерационном шаге. Третья и четвертая приблизительные частоты различных нелинейных задач хорошо согласуются с точными значениями. Был представлен новый метод аналитического решения гармонического осциллятора Дуффинга. Метод получен путем объединения метода Ньютона с методом гармонического баланса. Используя метод, можно получить линейные алгебраические уравнения вместо нелинейных алгебраических уравнений. Сложность метода ГБ значительно упрощается. Повторение процедуры приводит к быстрой сходимости относительно точного решения. Результаты действительны для всего диапазона амплитуд колебаний, включая предельные случаи, когда амплитуда приближается к нулю и бесконечности.
Так же был включен вариационный метод итераций, состоящий из трех стандартных алгоритмов для решения дифференциальных уравнений, интегро-дифференциальных уравнений, дробно-дифференциальных уравнений, фрактальных дифференциальных уравнений, дифференциально- разностных уравнений и дробных / фрактальных дифференциально- разностных уравнений. Приведены физические интерпретации дробного исчисления и фрактальной производной и обсуждается применение к уравнениям с дискретной решеткой. Точные решения многих нелинейных уравнений могут не иметь никакого физического смысла, подчеркивается важность поиска приближенных решений, которые удовлетворяют как уравнениям, так и соответствующим начальным / граничным условиям. Метод вариационной итерации особенно подходит для решения такого рода задач. Также обсуждались приближенные начальные / граничные условия и точечные граничные начальные / условия, причем метод вариационной итерации способен восстанавливать правильные начальные / граничные условия и находить решения одновременно.
Были рассмотрены: метод гомотопических возмущений (метод связи гомотопической техники и метода возмущений для решения нелинейных задач. В отличие от традиционных методов возмущений, предлагаемый метод не требует малого параметра в уравнении. В этом методе, в соответствии с гомотопической техникой, строится гомотопия с параметром вложения p?[0,1], и параметр вложения рассматривается как “малый параметр”. Таким образом, предлагаемый метод может в полной мере использовать традиционные методы возмущений) и новый вариационный подход для предельных циклов своего рода нелинейных осцилляторов. В последнее время метод гомотопических возмущений был модифицирован как метод оптимальных гомотопических возмущений. С инженерной точки зрения очень важно разработать надежную методику исследования нелинейной динамики вращающихся систем, чтобы делать выводы, позволяющие избежать нежелательного поведения системы. Это полезно для разработки высокопроизводительных продуктов с более высокими скоростями или более длительными периодами между простоями.
Метод гармонического баланса (ГБ) является широко используемым методом решения нелинейных систем, в которых используются усеченные ряды Фурье. Этот метод может быть использован для определения приближенных периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений. Если периодическое решение действительно существует, его можно искать в виде ряда Фурье, коэффициенты которого определяются требованием, чтобы ряд удовлетворял уравнению движения. Методы итеративного гомотопического гармонического баланса и баланса энергии также широко используются для решения сильно нелинейных осцилляторов. Новый алгоритм предлагает многообещающий подход путем построения гамильтониана для нелинейного генератора. Хотя эти аналитические методы были разработаны для работы с нелинейными осцилляторами, они дают почти аналогичные результаты для конкретного приближения.
Ключом к решению современных задач является математическое моделирование. Этот процесс включает в себя сохранение определенных элементов, пренебрежение некоторыми и приближение к другим. Чтобы выполнить этот важный шаг, необходимо определить порядок величины (т. е. малости или величины) различных элементов системы, сравнив их друг с другом, а также с основными элементами системы. Этот процесс называется обезразмериванием переменных. Следовательно, всегда следует вводить безразмерные переменные, прежде чем пытаться делать какие-либо приближения. Например, если элемент имеет длину один сантиметр, будет ли этот элемент большим или маленьким? Нельзя ответить на этот вопрос, не зная рассматриваемой проблемы. Если задача связана с движением спутника по орбите вокруг Земли, то один сантиметр — это очень-очень мало. С другой стороны, если задача касается межмолекулярных расстояний, то один сантиметр — это очень и очень много. В качестве второго примера, один грамм маленький или большой? Опять же, один грамм очень и очень мал по сравнению с массой спутника, но очень и очень велик по сравнению с массой электрона. Таким образом, выражение уравнений в безразмерной форме позволяет выявить важные безразмерные параметры, определяющие поведение системы. Даже если вас не интересуют приближения, рекомендуется выполнить этот важный шаг перед анализом системы или представлением экспериментальных данных.
Обыкновенные дифференциальные уравнения (сокращенно ОДУ) повсеместно используются как в фундаментальной науке, так и в технике. На самом деле они обычно возникают как прямые результаты применения некоторых фундаментальных законов в различных областях науки или техники. Классический пример здесь — второй закон движения Ньютона. Они также часто возникают косвенно, например, на промежуточных этапах решения других типов задач, таких как уравнения в частных производных (УЧП).
Рассмотрим механическая систему, состоящую из точки с массой m, подвешенной на идеальной пружине с постоянной жесткостью k, которая описывается обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) вида
??? + ??2?? = 0. (1)
Уравнение (1) на самом деле является стандартной моделью автономных генераторов, поскольку оно также очень хорошо подходит для описания различных задач, когда принимаются во внимание особые обстоятельства. Теория и методология решения линейных дифференциальных уравнений, к которым относится уравнение (1), получили широкое развитие. Однако хорошо известно, что многие наиболее интересные особенности природных явлений или технических систем скрыты в их нелинейном поведении. Поэтому для более точных моделей необходимо учитывать нелинейность. Это все же создает серьезную проблему, поскольку не существует стандартных методов решения нелинейных задач, в отличие от линейного случая.
Таким образом, разработка аналитических методов решения нелинейных задач является предметом интенсивных исследований на протяжении многих десятилетий. Итак, для важного класса ОДУ, связанных с колебательным поведением, были разработаны многочисленные методы,
которые позволяют получить некоторые приближения к желаемым решениям. К наиболее известным методам возмущения относятся метод Линдштедта- Пуанкаре (ЛП), метод множественных масштабов (ММС) и метод Крылова- Боголюбова-Митропольского (КБМ). Известно, что эти ставшие уже классическими методы имеют ряд серьезных ограничений. Например, они бесполезны для уравнений, которые описывают существенно нелинейные осцилляторы, такие как ??(??) = ??3.
Напротив, методы без возмущений, хорошо известным примером которых является метод гармонического баланса (ГБ), не имеют этих ограничений. Но непосредственное применение этого последнего метода приводит к системам нелинейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов усеченного ряда Фурье, принимаемых за решения; которые еще очень трудно решить. Однако острота этой трудности теперь может быть значительно уменьшена благодаря идее, первоначально предложенной Ву и Ли [1] и доработанной Ву и его сотрудниками [2,3]. Он состоит в линеаризации основных уравнений перед применением самого ГБ, что затем приводит к линейным алгебраическим уравнениям вместо нелинейных. Полученный в результате метод гармонического баланса с линеаризацией был применен к различным типам консервативных симметричных осцилляторов и оказался достаточно эффективным и очень простым.
Изучение нелинейных задач имеет решающее значение во всех областях физики. Некоторые из наиболее интересных особенностей физических систем скрыты в их нелинейном поведении и могут быть изучены только с помощью соответствующих методов, предназначенных для решения нелинейных задач. В общем случае, учитывая характер нелинейных явлений, аппроксимационные методы могут быть применены только в определенных
диапазонах физических параметров или только к определенным классам задач. Разработка нелинейных структур, сочетающих в себе простоту эксплуатации и гибкость в применении, представляет собой сложную задачу.
В результате были достигнуты замечательные успехи благодаря разработке ряда новых методов таких как метод линейного ?-разложения Линдштедта-Пуанкаре [4,5]. Существует несколько методов, которые использовались для нахождения приближенных решений нелинейных задач. Линдштедт давно разработал метод, в котором рассматриваются решения задач с участием консервативных колебательных систем с неизвестным периодом. Основное наблюдение состоит в том, что, вводя перемасштабирование время, можно избежать появления членов, бесконечно растущих со временем («вековых членов»), обычных в стандартной теории возмущений. Этот метод теперь известен как метод Линштедта-Пуанкаре (ЛП) или как метод искаженного времени.
Другим известным методом является пертурбативное ?-разложение. В этом случае идея состоит в том, чтобы изменить показатель степени нелинейного члена, введя параметр ? в качестве нового показателя степени. ? интерполирует между линейной (? = 0) и нелинейной (? = 1) задачами. Если удается решить линейную задачу, то исходная нелинейная задача после степенного разложения по ? превращается в бесконечную последовательность линейных задач, которые (формально) разрешимы.
Еще одной основой является многомасштабная теория возмущений. В этом случае решаются проблемы, в которых динамическая система имеет физическое поведение в различных масштабах длины или времени. Обычно это проблематично для обычной теории возмущений из-за появления (опять же) вековых членов. Основная идея состоит в том, чтобы ввести более одного времени и рассматривать их как независимые переменные. Выполняя обычное пертурбативное разложение, затем накладывают условия на решения (которые зависят от разных «времен»), чтобы избавиться от вековых членов, и остается решить линейное дифференциальное уравнение.
Наконец, линейное дельта-расширение. Это метод, при котором в задачу вводится произвольный (или несколько) параметр ?, а расчеты ведутся с помощью обычной теории возмущений по параметру разложения ? = 1. При каждом порядке по ? сходимость аппроксимации может быть улучшена применяя принцип минимальной чувствительности, который состоит в минимизации наблюдаемой по параметру ?.
Так же был представлен новый точный итерационный и асимптотический метод для построения аналитических приближенных решений для сильно нелинейных консервативных симметричных осцилляторов. Метод основан на применении разложения второго порядка с помощью метода гармонического баланса и исключает требование решения набора связанных нелинейных алгебраических уравнений. Итерация Ньютона или линеаризованная модель могут быть легко выведены путем рассмотрения только членов первого порядка в модели. В соответствии с этим итерационным подходом требуются только разложения в ряд Фурье функции восстанавливающей силы, ее производных первого и второго порядка для каждой итерации. Здесь делается вывод, что всего за одну итерацию могут быть получены очень краткие и в то же время точные аналитические приближенные решения.
Методы возмущений, такие как метод Линдстедта–Пуанкаре (Л–П), метод Крылова–Боголюбова (КБ), метод Крылова–Боголюбова– Митропольского (КБМ) и метод множественных масштабов (ММС), широко используется при нахождении приближенных аналитических решений нелинейных колебательных систем. Эти методы не только позволяют определять установившиеся периодические движения, но также (кроме метода Л-П) позволяют определять переходный характер движения к установившемуся решению. Однако применение теории возмущений во многих важных практических задачах не правомерно, либо она просто не работает для параметров, выходящих за определенный заданный диапазон. Для улучшения этих методов приводятся различные методы теории возмущений, в том числе модифицированные методы Л–П, усовершенствованный метод КБ, методы КБМ на основе эллиптических функций Якоби, проекция Галеркина на основе MMС, методы усреднения на основе гармонического баланса, линеаризованный метод КБ на основе гармонического баланса и метод KБM на основе постоянного расширения.
Метод гармонического баланса — хорошо зарекомендовавшая себя процедура определения аналитических приближений к решениям дифференциальных уравнений, отклик которых во временной области может быть выражен в виде ряда Фурье. В обычных методах гармонического баланса (ГБ) предполагается, что решение нелинейной системы имеет вид усеченного ряда Фурье. Этот метод может быть применен к нелинейным колебательным системам, где нелинейные члены не малы и не требуется параметр возмущения. В отличие от других нелинейных аналитических методов, таких как методы возмущений, ГБ не зависит от малых параметров, поэтому он может найти широкое применение в нелинейных задачах без линеаризации или малых возмущений. Были сделаны различные обобщения ГБ, и одним из них является рациональное представление, предложенное Миккенсом и его сотрудниками [20]. В данной работе предлагается модифицированный обобщенный рациональный ГБ для построения приближенных аналитических решений консервативных нелинейных колебаний, в которых нелинейная восстанавливающая сила f (x) является нечетной функцией x (т. е. f (?x) = ?f (?х)); здесь x представляет смещение, измеренное от устойчивого положения равновесия. В этом методе полученное приближенное решение аппроксимирует все гармоники в точном решении, тогда как обычные методы гармонического баланса обеспечивают аппроксимацию только самых низких гармонических составляющих. В большинстве случаев применение рационального ГБ приводит к очень сложным системам алгебраических уравнений с очень сложной нелинейностью, которые приходится решать даже во втором приближении. В попытке обеспечить лучшую методологию решения предлагается модификация этой техники для построения аналитического приближенного решения второго порядка для консервативных нелинейных осцилляторов, управляемых дифференциальными уравнениями с нечетной нелинейностью. Наиболее интересными особенностями предлагаемого метода являются его простота и отличная точность в широком диапазоне значений амплитуды колебаний [20].
Общим для всех перечисленных методов является то, что они основаны на разложении по некоторому малому параметру задачи. Поэтому они дают приближенные решения в виде многочлена от такого параметра. Со временем стало ясно, что требование существования малого параметра не может быть выполнено для всех актуальных задач. В науке и технике существует множество нелинейных колебательных систем, в которых параметры не малы. Эти колебательные системы часто описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Чтобы решить эти проблемы, можно заменить нелинейное дифференциальное уравнение родственным линейным уравнением, которое достаточно точно аппроксимирует исходное нелинейное уравнение, чтобы обеспечить полезные результаты. Часто такая линеаризация невозможна, и поэтому необходимо рассматривать само исходное нелинейное дифференциальное уравнение.
Кроме того, когда существует малый параметр, опыт применения методов возмущений показал, что полученные решения справедливы только в некотором ограниченном диапазоне как параметров, так и амплитуд колебаний. Прямые, непосредственные разложения по степеням параметра имеют, как правило, ограниченные области пригодности и нарушаются в некоторых областях, называемых областями неравномерности. Для приведения этих разложений к равномерно пригодному виду исследователи, работающие в различных областях физики, техники и прикладной математики, разработали ряд методов. Некоторые из этих методов между собой совершенно не похожи, другие являются разными интерпретациями одной и той же основной цели.
Как упоминалось ранее, желательно иметь метод, работающий в большом диапазоне параметров, что не всегда имеет место в вышеупомянутых методах, и хотелось бы, чтобы новый метод давал меньшую погрешность в аппроксимациях, чем его конкуренты. Также желательно разработать структуру, обладающую эксплуатационной гибкостью и легко адаптируемую ко многим разным проблемам.
В большинстве исследований, в которых разрабатываются перечисленные методы, использовались уравнения семейства осцилляторов Дуффинга, чтобы продемонстрировать, что они работают значительно лучше, чем методы возмущений. Их превосходство также было подтверждено решениями, полученными этими методами для многих уравнений осциллятора, отличных от уравнения Дуффинга. Метод гармонического баланса Ньютона был использован для получения высокоточных приближенных решений уравнений осциллятора с нерациональной возвращающей силой [8]. Он также применялся к гармоническому уравнению Дуффинга [9]. Ямгуэ и соавт. использовали рациональный гармонический баланс для определения высокоточных решений нескольких уравнений осциллятора [7]. Тот же метод был использован А. Белендесом для решения уравнения обратного гармонического осциллятора [6].
Модифицированный метод рационального гармонического баланса второго порядка используется для приближенного решения нелинейного дифференциального уравнения, описывающего колебания консервативной автономной системы с одной степенью свободы. Осциллятор Дуффинга анализируется, чтобы проиллюстрировать полезность и эффективность предложенной техники. Было доказано, что этот метод очень хорошо работает для этого генератора, и было продемонстрировано и обсуждено превосходное совпадение приблизительных частот с точными. Для приближения второго порядка показали, что относительная ошибка в аналитической приближенной частоте составляет всего 0,0055%, когда А стремится к бесконечности. Также сравнили разложения в ряды Фурье аналитического приближенного решения и точного. Это позволило сравнить коэффициенты при различных гармонических членах в этих решениях.
Белендез использовал метод кубизации для аппроксимации решений уравнения гармонического осциллятора Дуффинга [10]. Методы кубирования и эквивалентной нелинейности используются для замены исходного генератора гармоник Дуффинга приближенным уравнением, в котором коэффициенты для линейного и кубического членов зависят от начальной амплитуды колебаний. Показано, что эта процедура приводит к значениям угловой частоты с максимальной относительной погрешностью 0,055%. Это значение на 21% ниже относительных ошибок, достигнутых ранее разработанными приближенными решениями.

Другие соответствующие работы, которые развивают метод обобщенного гармонического баланса для получения приближенных аналитических решений нелинейных систем, были недавно представлены Луо
[11] и Луо и Хуангом [12–15].
В статье [12] представлен обобщенный метод гармонического баланса для приближенных аналитических решений периодических движений в нелинейных динамических системах. В качестве примера задачи исследуется нелинейный демпфирующий периодически вынужденный осциллятор Дуффинга. Приближенное аналитическое решение периодического движения такого осциллятора с периодом 1 получено методом обобщенного гармонического баланса (ГБ). Проведен анализ устойчивости и бифуркаций приближенного решения ГБ для движений с периодом 1 в вынужденном
осцилляторе Дуффинга и получена карта параметров для таких решений ГБ. Представлены численные иллюстрации движений периода 1. Точно так же те же идеи могут быть распространены на движения с периодом k в таком осцилляторе. Методология, представленная в этой статье, может быть применена к другим нелинейным вибрационным системам, которые не зависят от малых параметров.
Стоит отметить, что, за исключением простого уравнения типа маятника и Дуффинга, различные уравнения модели осциллятора, приведенные выше, и многие другие, найденные в специальной литературе, редко связаны очевидным образом с реальными физическими системами. В любом случае, несмотря на разнообразие уравнений, встречающихся в литературе, они далеко не охватывают все случаи интересующих задач. Следовательно, результаты для уравнений с более интуитивным значением гарантированы. Именно в этом контексте мы намерены искать приближения к периодическим решениям определенного класса уравнений осцилляторов. Это уравнение, которое расширяет уравнение Дуффинга с помощью члена, который является квадратичным мономом от скорости и коэффициент которого является рациональной функцией положения. Такой коэффициент может быть связан с массой, зависящей от положения, или может быть следствием геометрических/кинематических ограничений. Данное уравнение представлено в следующем разделе вместе с механизмом с ограничениями, который его моделирует. В разделе 3 мы кратко рассматриваем и используем гармонический баланс Ньютона для получения его приближенных решений. Метод используется двумя различными способами:
1. прямое применение к уравнению в его естественной рациональной форме,
2. применение к числителю после приведения уравнения к одному знаменателю.
Полученные результаты сравниваются и обсуждаются.

2. ОГРАНИЧЕННАЯ МЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
Рассмотрим механизм, показанный на рис. 1.
Рис. 1 Пример механической системы, описываемой уравнением (4).
Он состоит из двух ползунков A и B одинаковой массы m, соединенных легким жестким стержнем длиной L. Ползунки двигаются с пренебрежимо малым трением в двух щелях, направления которых перпендикулярны друг другу и находятся в горизонтальной плоскости. Ползунок А, приводимый в движение вдоль оси абсцисс, также связан с пружиной. Ввиду ограничения
??2 + ??2 = ??2 легко видеть, что полная кинетическая энергия этой системы определяется выражением
???? ?(??) = 2(??2 ? ??2)
??2. (2)
Предполагая, что пружина имеет постоянную жесткость k, из лагранжиана системы следует
?(??, ???) = ?(??) ?
????2
2
(3)
и вариационный принцип Эйлера-Лагранжа, согласно которому механизм на рис. 1 управляется ОДУ вида с участием
??? + ??2?? + ????3 + ?? ??
1 + ????2
???2 = 0; (4
(5)
?? = v???? , ?? = ??? = 1 , ?? = ? ?? .
?? ??2 ????
Уравнение (4) — это то, для которого мы будем искать решения. Очевидно, что количество параметров можно было бы уменьшить, не вводя ни
одного из ?? или ??. Кроме того, введением безразмерных переменных ??? = ?? и
??
??? = ??v???? все коэффициенты в уравнении (5) можно было сделать равными ±1.
??
Мы сохранили фактическую форму, потому что она допускает возможность того, что для другого набора значений этих параметров она может применяться к другим проблемам, а не только к механизму,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Wu B.S. and Li P.S. A Method for Obtaining Approximate Analytical Periods for a Class of Nonlinear Oscillators // Mechanica, 36 – 2001. – P. 167-176.
2. Wu B.S. and Lim C.W. Large Amplitude Non-Linear Oscillations of a General Conservative System // International Journal of Non-Linear Mechanics, 39.
– 2004. – P. 859-870.
3. Wu B.S., Sun W.P. and Lim C.W. An Analytical Technique for a Class of Strongly Non-Linear Oscillators // International Journal of Non-Linear Mechanics, 41. – 2006. – P. 766-774
4. Amore P. and Aranda A. Presenting a new method for the solution of nonlinear problems // Physics Letters A, 316. – 2003. – P. 218-225.
5. Amore P. and Aranda A. Improved Lindstedt-Poincar?e method for the solution of nonlinear problems // Journal of Sound and Vibration, 283. – 2005. – P. 1115-1136.
6. Bel?endez A., Gimeno E., Alvarez M.L., M? ? endez D.I. and Hern?andez,
A. (2008), Application of a modified rational harmonic balance method for a class of strongly nonlinear oscillators // Physics Letters A, 372. – 2008. – P. 6047- 6052.
7. Yamgou?e S. B., Bogning J. R., Kenfack Jiotsa A. and Kofan?e T.C. Rational harmonic balance based approximate solutions to nonlinear single-degree- of-freedom oscillator equations // Physica Scripta, 81(3). – 2010. – Vol.035003.
8. Lai S.K., Lim C.W. and Wu B.S. Accurate higher-order analytical approximate solutions to large amplitude oscillating systems with a general non- rational restoring force // Nonlinear Dynamics. – 2005. – Vol.42, p. 267-281.
9. Lim C.W., Wu B.S., and Sun W.P. Higher accuracy analytical approximations to the duffing harmonic oscillator // Journal of Sound and Vibration.
–2006. – Vol.296, p. 1039-1045.
10. Bel?endez A., M?endez D.I., Fern?andez E., Marini S. and Pascual I. An explicit approximate solution to the duffing-harmonic oscillator by a cubication method // Physics Letters A. – 2009. – Vol.373, p. 2805-2809.
11. Luo A.C.J. Continuous Dynamical Systems // HEP/L&H Scientific: Beijing/Glen Carbon. – 2012.
12. Luo A.C.J. and Huang J.Z. Approximate solutions of periodic motions in nonlinear systems via a generalized harmonic balance // Journal of Vibration and Control. – 2012. – Vol.18, p. 1661-1871.
13. Luo A.C.J. and Huang J.Z. Analytical dynamics of period-m flows and chaos in nonlinear systems // International Journal of Bifurcation and Chaos. – 2012.
– Vol. 22, Article No. 1250093 (29 pages).
14. Luo A.C.J. and Huang J.Z. Analytical routines of period-1 motions to chaos in a periodically forced Duffing oscillator with twin-well potential // Journal of Applied Nonlinear Dynamics. – 2012. – Vol. 1, p. 73-108.
15. Luo A.C.J. and Huang J.Z. Unstable and stable period-m motions in a twin-well potential Duffing oscillator // Discontinuity, Nonlinearity and Complexity. – 2012. – Vol. 1, p. 113-145.
16. Kovacic I. and Rand R. About a class of nonlinear oscillators with amplitude-independent frequency // Nonlinear Dynamics. – 2013. – Vol. 74, p. 455- 465.
17. Mickens R.E. Fourier representations for periodic solutions of odd-parity systems // Journal of Sound and Vibration. – 2002. – Vol. 258(2), p. 398-401.
18. Spiegel M.R. Theory and problems of advanced calculus SI(metric)edition
// McGraw-Hill: New York. – 1963.
19. Kovacic I. and Rand R. Straight-line Backbone Curve // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. – 2013. – Vol. 18, p. 2281-2288
20. Mickens R.E. and Semwogerere D. (1996), Fourier analysis of a rational harmonic balance approximation for periodic solutions // Journal of Sound and Vibration. – 1996. – Vol. 195(3), p. 528-530.